Prove the identity.

tan (x - y) + tan (z - x) + tan (y - z) = tan (x - y) tan (z - x) tan (y - z)

Step-by-step explanation:

This is known as the triple tangent identity. Start with the fact that the three angles add up to 0.

(x - y) + (z - x) + (y - z) = 0

Subtract two terms to the other side and take the tangent:

x - y = - ((z - x) + (y - z))

tan (x - y) = tan ( - ((z - x) + (y - z)))

Use reflection property:

tan (x - y) = - tan ((z - x) + (y - z))

Now use angle sum identity:

tan (x - y) = - [tan (z - x) + tan (y - z) ] / [1 - tan (z - x) tan (y - z) ]

tan (x - y) = [tan (z - x) + tan (y - z) ] / [tan (z - x) tan (y - z) - 1]

tan (x - y) [tan (z - x) tan (y - z) - 1] = tan (z - x) + tan (y - z)

tan (x - y) tan (z - x) tan (y - z) - tan (x - y) = tan (z - x) + tan (y - z)

tan (x - y) tan (z - x) tan (y - z) = tan (x - y) + tan (z - x) + tan (y - z)