Sin (a+b) * sin (a-b) = cos^2b-cos^2a

Step-by-step explanation:

To prove sin (a+b) * sin (a-b) = cos^2b-cos^2a

we simplify the left side sin (a+b) * sin (a-b) first

sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b

sin (a+b) * sin (a-b) = (sin a cos b + cos a sin b) x (sin a cos b - cos a sin b)

sin a cos b ((sin a cos b + cos a sin b) - cos a sin b (sin a cos b + cos a sin b)

open the bracket

sin a cos b (sin a cos b) + sin a cos b (cos a sin b) - cos a sin b (sin a cos b) + cos a sin b (cos a sin b)

sin²a cos²b + sin a cos b cos a sin b - cos a sin b sin a cos b + cos²a sin²b

sin²a cos²b + 0 + cos²a sin²b

sin²a cos²b + cos²a sin²b

sin²a = 1-cos² a sin²b = 1-cos² b

(1-cos² a) cos² b - cos² a (1-cos² b)

= cos² b - cos² a cos² b - cos² a + cos² a cos² b

choose like terms

cos² b - cos² a - cos² a cos² b + cos² a cos² b = cos² b - cos² a + 0

cos² b - cos² a

left hand side equals right hand side